Jurusan Tiga Angka – CATATAN MATEMATIKA

Jurusan tiga angka adalah menentukan letak sebuah titik atau obyek yang diukur dari titik atau obyek yang lain , ukuran yang dipakai adalah jarak (r) dan besar sudut ($alpha$) yang diukur dari arah utara dan searah dengan jarum jam penulisan sudut menggunakan 3 digit (3 angka). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
Jurusan Tiga Angka

Contoh 1:
Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Tahun 2017 No. 28
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $120^o$ sejauh 40 km , kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan $240^o$ sejauh 80 km. Jarak antara pelabuhan C dan A adalah ….
A. $20sqrt{3}$ km
B. 40 km
C. $40sqrt{3}$ km
D. $40sqrt{5}$ km
E. $40sqrt{7}$ km
Pembahasan:
Dari soal dapat kita buat ilustrasi gambar sebagai berikut!

Jurusan Tiga Angka

Aturan cosinus:
$begin{align} {{b}^{2}} &= {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac.cos B &= {{80}^{2}}+{{40}^{2}}-2.40.80.cos {{60}^{o}} &= 6400+1600-6400.frac{1}{2} {{b}^{2}} &= 4800 b &= sqrt{4800} &= sqrt{1600×3} b &= 40sqrt{3} end{align}$
Jawaban: C


Contoh 2:
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah $044^o$ sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah $104^o$ sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah … cm.
A. $10sqrt95$
B. $10sqrt91$
C. $10sqrt85$
D. $10sqrt71$
E. $10sqrt61$
Pembahasan:
Perhatikan gambar sketsa rute kapal dari permasalahan di atas adalah:
Jurusan Tiga Angka
$angle UAB+angle ABU’={{180}^{o}}$
${{44}^{o}}+angle ABU’={{180}^{o}}$
$angle ABU’={{180}^{o}}-{{44}^{o}}$
$angle ABU’={{136}^{o}}$
$angle ABC={{360}^{o}}-angle ABU’-angle U’BC$
$angle ABC={{360}^{o}}-{{136}^{o}}-{{104}^{o}}$
$angle ABC={{240}^{o}}=angle B$

Dengan aturan cosinus:
Jarak Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah AC = $b$ = …?
${{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac.cos B$
${{b}^{2}}={{40}^{2}}+{{50}^{2}}-2.40.50.cos {{120}^{o}}$
${{b}^{2}}=1600+2500-2.40.50.left( -frac{1}{2} right)$
${{b}^{2}}=1600+2500+2000$
${{b}^{2}}=6100$
$b=sqrt{6100}$
$b=sqrt{100times 61}$
$b=10sqrt{61}$
Jadi , jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah $10sqrt{61}$ km.
Jawaban: E
Untuk lebih jelasnya tonton videonya DISINI.


Contoh 3. UN 2016.
Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 07.00 dengan arah $030^o$ dan tiba di pelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan $150^o$ dan tiba di pelabuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah …
A. $200sqrt2$ mil
B. $200sqrt3$ mil
C. $200sqrt6$ mil
D. $200sqrt7$ mil
E. 600 mil
Pembahasan:
$v_{AB}$ = 50 mil/jam
$t_{AB}$ = 4 jam , maka:
$s_{AB}$ = $v_{AB} times t_{AB}$
$s_{AB}$ = $50 times 4$
$s_{AB}$ = 200 mil
$t_{BC}$ = bergerak pukul 12.00 sampai pukul 20.00
$t_{BC}$ = 8 jam
$v_{BC}$ = 50 mil/jam
$s_{BC}$ = $v_{BC} times t_{BC}$
$s_{BC}$ = $50 times 8$
$s_{BC}$ = 400 mil
Perhatikan sketsa gambar berikut:
Jurusan Tiga Angka
Dengan Aturan Cosinus , maka:$b^2 = a^2 + c^2 -2.a.c.cos B$
$b^2 = 400^2 + 200^2 – 2.400.200. cos 60^o$
$b^2 = 40000 + 160000 – 160000. frac{1}{2}$
$b^2 = 120.000$
$b = 200 sqrt3$
Jawaban: B


Contoh 4. UN 2017
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $130^o$ sejauh 20 km. Kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan tiga angka $250^o$ sejauh 40 km. Jarak antara pelabuhan C dan A adalah …
A. $10sqrt3$ km
B. $10sqrt5$ km
C. $20sqrt3$ km
D. $20sqrt5$ km
E. $20sqrt7$ km
Pembahasan:


Contoh 5. UN 2017
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $080^o$ sejauh 80 km. Kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan $200^o$ sejauh 60 km. Jarak antara pelabuhan C dan A adalah …
A. 10 km
B. $5sqrt{13}$ km
C. $10sqrt{13}$ km
D. $20sqrt{13}$ km
E. 100 km.
Pembahasan:


Contoh 6.
Dua kapal R dan S berjarak 15 km. Kapal S letaknya pada arah $110^o$ dari R dan kapal T , $170^o$ dari R. Jika kapal T letaknya pada arah $245^o$ dari S , maka tentukan jarak kapal T dari kapal S.
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jurusan Tiga Angka
Dari gambar dapat kita peroleh:
$begin{align} angle SRT &=angle ART-angle ARS   &={{170}^{o}}-{{110}^{o}}   &={{60}^{o}}  end{align}$
$angle BSR$ dan $angle ARS$ adalah sepasang sudut dalam sepihak , maka:
$begin{align} angle BSR + angle ARS &={180}^{o} angle BSR + {110}^{o} &={180}^{o} angle BSR &= {70}^{o} end{align}$
$begin{align}  angle RST &={{360}^{o}}-angle BSR-angle BST   &={{360}^{o}}-{{70}^{o}}-{{245}^{o}}   &={{45}^{o}}  end{align}$
$begin{align}  angle RTS &={{180}^{o}}-angle SRT-angle RST   &={{180}^{o}}-{{60}^{o}}-{{45}^{o}}   &={{75}^{o}}  end{align}$
Karena kita akan menggunakan aturan sinus maka kita hitung terlebih dahulu $sin {{75}^{o}}$.
$begin{align}  sin {{75}^{o}} &=sin ({{45}^{o}}+{{30}^{o}})   & =sin {{45}^{o}}.cos {{30}^{o}}+cos {{45}^{o}}.sin {{30}^{o}}   & =frac{1}{2}sqrt{2}.frac{1}{2}sqrt{3}+frac{1}{2}sqrt{2}.frac{1}{2}   & =frac{1}{4}left( sqrt{6}+sqrt{2} right)
end{align}$
Dengan Aturan Sinus:
$begin{align}  frac{ST}{sin angle SRT} &=frac{RS}{sin angle RTS}    frac{ST}{sin {{60}^{o}}} &=frac{15}{sin {{75}^{o}}}    frac{ST}{frac{1}{2}sqrt{3}} &=frac{15}{frac{1}{4}left( sqrt{6}+sqrt{2} right)}    ST &=frac{frac{15sqrt{3}}{2}}{frac{1}{4}left( sqrt{6}+sqrt{2} right)}   ST &=frac{30sqrt{3}}{sqrt{6}+sqrt{2}}    ST &=frac{30sqrt{3}}{sqrt{6}+sqrt{2}}times frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{sqrt{6}-sqrt{2}}    ST &=frac{90sqrt{2}-30sqrt{6}}{4}    ST &=frac{1}{2}left( 45sqrt{2}-15sqrt{6} right)
end{align}$
Untuk lebih jelasnya silahkan tonton video berikut: